[FR] [GB]

Muusika ja matemaatika arengu seoseid

 

Iannis Xenakis

 

 

MUUSIKA                                   MATEMAATIKA

 

                                    500 e.m.a.

Seostati helikõrgus ja võnkuva pillikeele pikkus. Muusika andis seejuures imetlusväärseid impulsse arvuteooriale ja geomeetriale. Muusikas leiutati mittetäielikud astmikud.

 

Muusikaline vaste puudub.

Naturaalarvude fundamentaalse tähtsuse avastamine ning positiivsete ratsionaalarvude (murdude) leiutamine.

 

 

 

Positiivsed irratsionaalarvud, näiteks ruutjuur kahest (Pythagorase teoreem).

 

 

                                    300 e.m.a.

Tõusvate, laskuvate ja paigalpüsivate (null) helikõrgusintervallide leiutamine, mille viis liitmistehte keelde Aristoxenos, pakkudes samas teoreetiliselt välja täieliku kromaatilise kaksteistheliastmiku kui mooduli (aste). Paralleelselt on see jätkuks tööle pillikeele pikkuste multiplikatiivse (geomeetrilise) keelega, mis on aditiivsete astmete keele (Eukleides) tõlkeks. Järelikult mõjutab muusikateooria logaritmide (muusikalised intervallid) ning eksponentsiaalide (pillikeele pikkused) isomorfismi avastamist rohkem kui viisteist sajandit enne nende avastamist matemaatikas, olles ka eelkäijaks Aristoxenose rühmateooriale.

Matemaatikas vaste puudub. Matemaatika on võrreldes muusikateooria- ja praktikaga maha jäänud ning soikub Läänemaailmas enam kui viieteistkümneks sajandiks vaatamata lõpmatuse kontseptsioonile ning diferentsiaal- ja integraalarvutusele, millele esimest korda tuli Archimedes.

 

 

                                    1000 m.a.j.

Helikõrguste ajas tähistamiseks noodijoonestiku ning noodipeade abil kahedimensionaalse ruumilise esitluse leiutamine, (leiutajaks Guido d’Arezzo), ennetades kolm sajandit Oresmi koordinaate ning seitse sajandit (1635-1637) Fermat’ ning Descartesi suurejoonelist analüütilist geomeetriat.

Matemaatikas paralleel puudub.

 

 

                                    1500 m.a.j.

Eelnevate kontseptsioonide vasted või areng puuduvad.

Kasutusele võetakse null ja negatiivsed arvud. Ratsionaalarvude hulga määratlus.

 

 

                                    1600 m.a.j.

Puudub ekvivalents, puudub vastukaja.

Leiutatakse reaalarvude ja logaritmide hulgad.

 

 

                                    1700 m.a.j ning 1800 m.a.j.

Võrdtempereeritud kromaatilise helirea taasavastamine tänu praktikale (tipnedes Johann Sebastian Bachiga). Muusika on põhistruktuuride osas maha jäänud, kuid tonaalsed struktuurid, polüfoonia ning makrovormide (fuuga, sonaat) leiutamine on eesrindlik, tuues päevavalgele seemneid, mis tihti puhkevad uuele elule tänases ja homses muusikas. Näiteks fuuga on abstraktne automaat, mida kasutati kaks sajandit enne automaatikateaduse sündi. Ka toimub ebateadlik manipuleerimine lõpetatud rühmadega (Kleini rühm) meloodilise liini neljas variandis, mida kasutatakse kontrapunktis. 

Arvuteooria on eesrindlik, kuid tal puudub siiski ekvivalent temporaalsetes struktuurides. Need struktuurid tulevad hiljem koos stohhastiliste protsesside, mänguteooria, automaatikaga jne. Kompleksarvude välja avastamine (Euler, Gauss), kvaternioonid (Hamilton), jätkuvuse definitsioon (Cauchy) ning rühmastruktuuride leiutamine (Galois, Abel).

 

 

                                    1900 m.a.j.

Vabanemine tonaalsuse ikkest. Esimene neutraalse kromaatilise tonaalsuse tunnustamine (Loquin (1895), Hauer, Schönberg).

Infiniitsed ja transinfiniitsed arvud (Cantor). Peano naturaalarvude aksiomaatika. Suurepärane mõõduteooria (Lebesque, Borel, Heine).

 

 

                                    1920 m.a.j.

Esimene radikaalne makrostruktuuride formaliseerimine Schönbergi seriaalse süsteemi abil.

Arvuteoorias uus areng puudub. Diskussioon mõnede vanemate vasturääkivuste üle hulgateoorias. (Muusika jõuab eelseisvatel aastatel järele.)

 

 

                                    1930 m.a.j.

Kitsamate helikõrgusastmete (veerand- kuuendik- jne. toonid) taaskasutuselevõtt, kuigi uputatuna tonaalsesse süsteemi (Wichnegradsky, Haba, Carillo).

 

                                    1950 m.a.j.

Teine radikaalne makrostruktuuride formaliseerimine permutatsioonide, piiratud transpositisoonidega laadide ning mitteretrograadsete rütmidega (Messiaen).

 

                                    1953 m.a.j.

Katkestamatute helikõrguse ja ajaastmike kasutuselevõtt (kasutades reaalarve) arvutades kõla omadusi, isegi kui taju ja interpretatsiooni kaalutlustel on reaalarvud ligendatud reaalarvudeks. (See on minu panus, nii teoreetiline kui ka muusikaline, mis hõlmab erinevaid matemaatikavaldkondi nagu tõenäosus, loogika, kalkulus ja mõningad struktuurid, kaasa arvatud rühmastruktuurid. See mängib hiljem tähtsat rolli makro- ja mikrokompositsiooni puhul.)

 

                                    1957 m.a.j.

Uued formaliseerimised muusika makrostruktuuri tasandil: stohhastilised protsessid, Markovi ahelad, ehkki kasutatuna sootuks erineval viisil (Hiller, Xenakis) ja samuti arvutite kasutamine (Hiller).

 

                                    1960 m.a.j.

Muusikaliste heliridade aksiomaatika “sõelateooria” abil ning kompleksarvude kasutamine heliloomingus (see on niisiis minu isikliku töö tulemus).

 

                                    1970 m.a.j.

Uued ettepanekud helide mikrostruktuuris kasutades jätkuva diskontinuiteedi loomiseks tõenäosusseadusi (juhuslikud trajektoorid, Browni liikumine). Sellist jätkuvat diskontinuiteeti on laiendatud makrostruktuuridele, kuigi tarvitades näiteks instrumentaalmuusikas makrotasandil teistsugust arhitektuurset aspekti (see on minu isikliku töö tulemus).