The physico-mathematical apparatus of acoustics 1 is plunged into the theories of energy propagation in an clastic medium, in which harmonic analysis is the cornerstone.


The same apparatus finds in the units of electronic circuit design the practical medium where it is realized and checked. The prodigious de\"elopment of radio and TV transmissions has expanded the Fourier harmonic analysis to very broad and heterogeneous domains.


Other theories, quite far apart, e.g., servomechanisms and probability, find necessary backing in Fourier series.

In music ancient traditions of scales, as well as those of string and pipe resonances, also lead to circular functions and their linear combinations.2


In consequence, any attempt to produce a sound artificially could not be conceived outside the framework of the above physico-mathematical and electronic apparatus, which relies on Fourier series.


Indeed the long route traversed by the acousmatics of the Pythagoreans seemed to have found its natural bed. Musical theoreticians did base their theories on Fourier, more or less directly, in order to support the argument about the natural harmony of tonality. Moreover, in defining tonality, the 20th-century deprecators of the new musical languages based their arguments on the theory of vibration of elastic bodies and media, that is, in the end, on Fourier analysis. But they were thus creating a paradox, for although they wanted to keep music in the intuitive and instinctive domain, in order to legitimatize the tonal universe they made use of physicomathematical arguments!



The Impasse of Harmonic Analysis and Some Reasons


Two major difficulties compel us to think in another way:


1.The defeat by the thrust of the new languages of the theory according to which harmony, counterpoint, etc., must stem, just from the basis formed by circular functions.


E.g., how can we justify such harmonic configurations of recent instrumental or electro-acoustic music as a cloud of ghdmg sounds? Thus, harmonic analysis has been short-circuited in spite of touching attempts like Hindemith's explanation of Schoenberg's system (3).


Life and sound adventures jostle the traditional theses which are nevertheless still being taught in the conservatories (rudimen;allv of course).


It is therefore natural to think that the disruptions in music i~ 'the last 60 years tend to prove once again that music and its "rules" are sociocultural and historical conditionings, and hence modifiable. These conditions seem to be based roughly on


a. the absolute limits of our senses and their deforming power (e.g., Fletcher contours);


b. our canvass of mental structures, some of which were treated in the preceding chapters (ordering, groups, etc.);


c. the means of sound production (orchestral instruments electro-ac~u:tic sound synthesis, storage and transformation analogu~ systems, dIgItal sound synthesis with computers and digital to analogue converters).


If we modify anyone of these three points, our socio-cultural conditioning will also tend to change in spite of an obvious inertia inherent in a sort of "entropy" of the social facts.


2. The obvious failure, since the birth of oscillating circuits in electronics, to reconstitute any sound, even the simple sounds of some orchestral instruments!


a. The Trautoniums, Theremins, and Martenots, all pre World War II attempts, prove it.


b. Since the war, all "electronic" music has also failed, in spite of the big hopes of the fifties, to pull electro-acoustic music out of its cradle of the so-called electronic pure sounds produced by frequency generators. Any electronic music based on such sounds only, is marked by their simplistic sonority, which resembles radio atmospherics or heterodyning. The serial system, which has been used so much by electronic music composers, could not by any means improve the result, since it itself is much too elementary. Only when the "pure" electronic sounds were framed by other "concrete" sounds, which were much richer and much more interesting (thanks to E. Varese, Pierre Schaeffer, and Pierre Henry), could electronic music become really powerful.


c. The most recent attempts to use the flower of modern technology, computers coupled to converters, have shown that in spite of some relative successes,4 the sonorous results are even less interesting than those made ten years ago in the classic electro-acoustic studios by means of frequency generators, filters, modulators, and reverberation units.


In line with these critiques, what are the causes of these failures? In my opinion the following are some of them:


1. Meyer-Eppler's studies 5 have shown that the spectral analysis of even the simplest orchestral sounds (they will form a reference system for a long time to come) presents variations of spectral lines in frequency as well as in amplitude. But these tiny (second order) variations are among those that make the difference between a lifeless sound made up of a sum of harmonics produced by a frequency generator and a sound of the same sum of harmonics played on an orchestral instrument. These tiny variations, which take place in the permanent, stationary part of a sound, would certainly require new theories of approach, using another functional basis and a harmonic analysis on a higher level, e.g., stochastic processes, Markov chains, correlated or autocorrelated relations, or theses of pattern and form recognition. Even so, analysis theories of orchestral sounds would result in very long and complex calculations, so that if we had to simulate such an orchestral sound from a computer and from harmonic analysis on a first level, we would need a tremendous amount of computer time, which is impossible for the moment.


2. It seems that the transient part of the sound is far more important than the permanet\! part in timbre recognition and in music in general. 7 Now, the more the music moves toward complex sonorities close to "noise," the more numerous and complicated the transients become, and the more their synthesis from trigonometric functions becomes a mountain of difficulties, even more unacceptable to a computer than the permanent states. It is as though we wanted to express a sinuous mountain silhouette by using portions of circles. In fact, it is thousands of times more complicated. The intelligent ear is infinitely demanding, and its voracity for information is far from having been satisfied. This problem of a considerable amount of calculation is comparable to the 19th-century classical mechanics problem that led to the kinetic gas theory.


3. There is no pattern and form recognition theory, dependent on harmonic analysis or not, that would enable us to translate curves synthesized by means of trigonometric functions in the perception of forms or configurations. For instance, it is impossible for us to define equivalence classes of very diversified oscilloscope curves, which the ear throws into the same bag. Furthermore, the ear makes no distinction between things that actual acoustic theories differentiate (e.g., phase differences, differential sensitivity ability), and vice versa.



The Wrong Concept of Juxtaposing Finite Elements


Perhaps the ultimate reason for such difficulties lies in the improvised entanglement of notions of finity and infinity. For example, in sinusoidal oscillation there is a unit element, the variation included in . Then this finite variation is repeated endlessly. Seen as an economy of means, this procedure can be one of the possible optimizations. We labor during a limited span of time (one period), then repeat the product indefinitely with almost no additional labor. Basically, therefore, we have a mechanism (e.g., the sine function) engendering a finite temporal object, which is repeated for as long as we wish. This long object is now considered as a new element, to which we juxtapose similar ones. The odds are that one can draw any variation of one variable (e.g., atmospheric pressure) as a function of time by means of a finite superposition (sum) of the preceding elements. In doing this we expect to obtain an irregular curve, with increasing irregularity as we approach "noises." On the oscilloscope such a curve would look quite complex. If we ask the eye to recognize particular forms or symmetries on this curve it would almost certainly be unable to make any judgment from samples lasting say 10 microseconds because it would have to follow them too fast or too slowly: too fast for the ewryday limits of visual attention, and too slow for the TV limits, which plunge the instantaneous judgment into the level of global perception of forms and colors. On the other hand, for the same sample duration, the ear is made to recognize forms and patterns, and therefore senses the correlations between fragments of the pressure curve at various levels of understanding. We ignore the laws and rules of this ability of the ear in the more complex and general cases that we are interested in. However, in the case in which we superpose sine curves, we know that below a certain degree of complexity the ear disentangles the constituents, and that above it the sensation is transformed into timbre, color, power, movement, roughness, and degree of disorder; and this brings us into a tunnel of ignorance. To summarize, we expect that by judiciously piling up simple elements (pure sounds, sine functions) we will create any desired sounds (pressure curve), even those that come close to very strong irregularities-almost stochastic ones. This same statement holds even when the unit element of the iteration is taken from a function other than the sine. In general, and regardless of the specific function of the unit element, this procedure can be called synthesis by finite juxtaposed elements. In my opinion it is from here that the deep contradictions stem that should prevent us from using it.*





We shall raise the contradiction, and by doing so we hope to open a new path in microsound synthesis research-one that without pretending to be able to simulate already known sounds, wIll nevertheless launch music, its psychophysiology, and acoustics in a direction that is quite interesting and unexpected.


Instead of starting from the unit element concept and Its tireless IteratIOn and from the increasing irregular superposition of such iterated unit elements we can start from a disorder concept and then introduce means that would increase or reduce it. This is like saying that we take the inverse road:


We do not wish to construct a complex sound edifice by using discontinuous unit elements (bricks = sine or other functions); we wish to construct sounds with continuous variations that are not made out of unit elements. This method would use stochastic variations of the sound pressure directly. We can imagine the pressure variations produced by a particle capriciously moving around equilibrium positions along the pressure ordinate in a nondeterministic way. Therefore we can imagine the use of any "random walk" or multiple combinations of them.


Method 1. Every probability function is a particular stochastic variation which has its own personality (personal behavior of the particle). We shall then use anyone of them. They can be discontinuous or continuous ; e.g., Poisson, exponential (ce- ex), normal, uniform, Cauchy (t [7T(~2 ~ x2)], -I), arc sin (7T-I[x(l-x)] -1/2), logistic [(ae-ax-oHI +e-ax-O) -I] dIstnbutlOns.



Method 2. Combinations of a random variable X with itself can be established. Example: IfJ(x) is the probability function of X we can form Sn = XI + X2 + . , . + Xn (by means of the n-fold convolution of J(x) with itself) or PK = XI' X2, , ,XK, or any linear, polynomial, ... , function of the variable X.



Method 3. The random variables (pressure, time) can be functions of other variables (elastic forces), even of random variables. Example: The pressure variable x is under the influence of a centrifugal or centripetal force cp(x, t). For instance, if the particle (pressure) IS mfluenced by a force wx (w being a constant) and also obeys a Wiener-Levy process, then Its density will be

qt(x,y) = (WI/2/[7T(1 - e-2wt)]-1/2) exp [-w(y - xe-wt)2f(1 - r2wt)], where x and y are the values of the variable at the instants 0 and t, respectively. (This is also known as the Ornstein-Uhlenbeck process.) .



Method 4. The random variable moves between two reflectmg (elastIc) barriers. Example: If we again have a Wiener-Levy process with two reflecting barriers at a > 0 and zero, then the density of this random walk will be






(217t)-1/2 L (exp [-(y - x + 2ka)2/2t]


+ exp [ - (y + x + 2ka)2/2t]),


Xi + XJ + ... + X~i and sn( L S~i)

i = 1



where x and yare the values of the variables at the instants 0 and t, respectively, and k = 0, ± 1, ± 2, ....


Method 5. The parameters of a probability function can be considered as variables of other probability functions (randomization, mixtures). 9


P:" = Xi'X~" . X:" and pn( n P:,,) = p;1·r;2·· 'P~n'





a. t is the parameter of a Poisson distributionf(k) = (at)"(k!) -Ie-at, and the random variable of the exponential density g(t) = (3e-8to The combination is


which is a geometric distribution.





b. p and q are the probabilities of a random walk with jumps ± I (Bernoulli distribution). The time intervals between successive jumps are random variables with common density e-t (Poisson distribution). Then the probability of the position n at instant twill befn(t) = In(2typq)e-t(p/q)n!2, where

Qt(x, f) = prob {X(T(t + s)) E flX(T(s)) = x}


In(x) = L [A;!r(k + n + 1)] -1(x/2)2"+n


is the modified Bessel function of the first kind of order n.


Method 6. Linear, polynomial, ... , combinations of probability functions.h are considered as well as composite functions (mixtures of a family of distributions, transformations in Banach space subordination etc.). ' ,


a. If A and B are any pair of intervals on the line, and Q(A, B) = pr?b {X E A, Y E B} with q(x, B) = prob {X = x, Y E B} (q, under appropnate regularity conditions being a probability distribution in B for a given x and a continuous function in x for a fixed B; that is, a conditional probability of the event {Y E B}, given that X = x), and J.'{A} is a probability distribution of X'E A, then Q(A, B) = t q(x, B)J.'{dx} represents a mixture of the family of distributions q(X, B), which depends on the parameter x, with J.' serving as the distribution of the randomized parameter [30].


b. Interlocking probability distributions (modulation). If fl,]2, ... , , fn are the probability distributions of the random variables Xl X2

      Xn, respectively, then we can form '     , ... ,


or any combination (functional or stochastic) of these sums and products. Furthermore, the ai and yk could be generated by either independent determined functions, independent stochastic processes, or interrelated determined or indetermined processes. In some of these cases we would have the theory of renewal processes, if, for instance, the ai were considered waiting times Ti. From another point of view, some of these cases would also correspond to the time series analysis of statistics. In reality, the ear seems to realize such an analysis when in a given sound it recognizes the fundamental tone pitch together with timbre, fluctuation, or casual irregularities of that sound! In fact, time series analysis should have been invented by composers, if they had-.


c. Subordination [30]. Suppose {X(t)}, a Markovian process with continuous transition probabilities




(stochastic kernel independent of s), and {T(t)}, a process with nonnegative independent increments. Then {X ( T (t))) is a Markov process with transition probabilities





where Vt is the infinitely divisible distribution of T(t). This Pt is said to be subordinated to {X (t)}, using the operational time T(t) as the directing process.


Method 7. The probability functions can be filed into classes, that is, into parent curve configurations. These classes are then considered as elements of higher order sets. The classification is obtained through at least three kinds of criteria, which can be interrelated: a. analytical source of derived probability distribution; gamma, beta, ... , and related densities, such as the density of X2 with n degrees of freedom (Pearson); Student's t density; Maxwell's density; b. other mathematical criteria, such as stability, infinite divisibility; and c. characteristic features of the curve designs: at level 0, where the values of the random variable are accepted as such; at levell, where their values are accumulated, etc.




Method 8. Further manipulations with classes of distributions envisaged by ~Iethod 7 introduce us to the domain of macrocomposition. But we ,;ill not continue these speculations since many things that have been ex­posed in the preceding chapters could be used fruitfully in obvious ways. For example, sound molecules produced by the above methods could be injected into the ST(ochastic) program of Chap. V, the program forming the macrostructure. The same could be said about Chaps. II and III (~IarkO\'ian processes at a macrolevel). As for Chaps. VI and VIII (sym­bolic music and group organization) establishing a complex microprogram is not as easy, but it is full of rich and unexpected possibilities.

All of the above new proposals are being investigated at the Centers for ~Iathematical and Automated Music (CMAM) at both the School of ~Iusic of Indiana University, Bloomington, Indiana, and the Nuclear Research Center of the College de France, in Paris. Digital to analogue converters with 16 bits resolution at a rate of 0.5,105 samples per second are available in both places.


Figs. IX, 1-8 were calculated and plotted at the Research Computing Center of Indiana University under the supen'ision of Cornelia Colyer. These graphs could correspond to a sound duration of 8 milliseconds, the ordinates being the sound pressures.


IIMathews, Max V. The Technology of Computer ll1usic. Cambridge: M.LT, Press, 1969.


I 13



1 Stevens, S. S., and Davis, H. Hearing. New York: John Wiley and Sons, 1948', Beranek, Leo L. Acoustics. New York: I\IcGraw-Hill, 1954.


2 Appelman, D. Ralph. The Science of Vocal Pedagogy. Bloomington :'lndiana University Press, 1967.

*Reprinted from Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition, (Bloomington, Indiana University Press, 1971) with permission of the Publisher.




3 Hi.ndemil.h, Paul. The Craft of Musical Composition. 2 vols. New York: Associated MusIc Publishers, 1942.


4 Risset;, Jean Claude. "An Introductory Catalogue of Computer Synthesized Sounds. Unpublished. Murray Hill, New Jersey: Bell Telephone Laboratories 1969.

      110   '

5 Meyer-Epler, W. Grundlagen und Anwendungen der Informations Theone. Berlin: Springer-

Verlag, 1959.


6 Von Foerster, Heinz, and Beauchamp, James W., eds. Alusic by Computers. New York: John Wiley and Sons, 1969.

7 Schaeffer, Pierre. Traite des obJets musicaux: Essai interdisciplines. Paris: Editions du Seuil, 1966.


9 Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Appli·cations. 2 \'ols. New York: John Wiley and Sons, 1966.






* In spite of this criticism I would like to draw attention to the magnificent manipulatory language Music V of Max V. Mathews, which achIeves the final step in this procedure and automates it . II This language certainly represents the realization of the dream of an electronic music composer in the fifties.










Uued ettepanekud heli mikrostruktuuris



Fourier’ seeriate põhiline tähtsus ja asjassepuutumatus



Akustika psühho-matemaatiline süsteem(1) on osa elastsetes keskkondades energia levimise teooriast, milles nurgakiviks on ülemhelianalüüs.




Sama süsteem leiab praktilise vahendi elektronide vooluringi kavandamisel, milles seda on realiseeritud ja kontrollitud.

Tohutu raadio ja TV ülekannete areng laiendas Fourier’ ülemhelianalüüsi vägagi laiadele ja heterogeensetele valdkondadele.





Teised, üsnagi kauged eriteooriad, näiteks raku toimemehhanismid ning tõenäosus, leiavad Fourier’ seeriates vajaliku toe. Muusika iidsed heliridade traditsioonid, nagu ka pillikeele ja vile toru resonantsid, viivad samuti tsirkulaarsete funktsioonide ja nende lineaarkombinatsioonideni.(2)






Niisiis, iga katse toota tehislikult heli, ei saa olla kavandatav väljaspool Fourier’ seeriatele toetuva psühho-matemaatilise ning elektroonilise süsteemi raame.






Tõeliselt pikk tee, läbides pütaagorlaste akusmaatikat, näib rajanevat selle loomulikule voolusängile. Muusikateoreetikud tuginevad oma teooriates Fourier’le, rohkemal või vähemal määral otse, selleks et kaitsta väidet tonaalse harmoonia loomulikkusest. Veelgi enam, uue 20.sajandi helikeele taunijad tuginesid tonaalsuse defineerimisel oma väidetes elastsete kehade ja keskkondade vibratsiooni teooriale, mis tähendab lõpuks Fourier’ analüüsi. Aga nad tekitasid sellega paradoksi: kuigi nad soovisid hoida muusikat intuitiivsel ja instinktiivsel alal, legitimeerimaks tonaalset universumi, kasutasid nad ära füüsikalis-matemaatilisi argumente!












Ülemhelianalüüsi ummik ja mõned järeldused



Meid sunnib erinevalt mõtlema kaks peamist probleemi:



1.Ebaõnnestumine, kaitstes uute keelte teooriat kooskõlas nende harmoonia, kontrapunktiga jne., niisiis väljakujunenud tsirkulaarsete funktsioonide alusel.





Näiteks, kuidas võime me põhjendada sellist nüüdisinstrumentaal- või elektroakustilise muusika harmoonilist konfiguratsiooni nagu helide pilv? Seega, harmooniline analüüs oli lühises, vaatamata liigutavale katsele, nagu Hindemithi Schönbergi süsteemi selgitused(3).






Elu- ja helisündmused tõrjuvad kõrvale traditsioonilisi väiteid, mida sellele vaatamata ikka veel õpetatakse konservatooriumides (loomulikult rudimentaalselt).




Seetõttu on loomulik mõelda, et lõhestumine viimase kuuekümne aasta muusikas kaldub taas tõestama, et muusika ja tema "reeglid" on sotsiaalkultuurilised ja ajalooliselt kokku lepitud ning seetõttu muudetavad. Need kokkulepped näivad tuginevat laias laastus





a. meie meelte absoluutsetele piiridele ja nende deformeerivale jõule (näiteks Fletcheri kontuurid);



b. meie vaimsete struktuuride kontrollile, millest mõnda käsitleti eelnevas peatükis (järjestamine, rühmad, jne.);




c. heli tekitamise vahenditele (orkestriinstrumendid, elektro-akustiline helisüntees, analoogsüsteemide salvestamine ja muundamine, arvuti abil digitaalne helisüntees ning digitaal-analoog konverterid).





Muutes kasvõi üht neist kolmest punktist, kipuvad muutuma ka meie sotsiaalkultuurilised kokkulepped, vaatamata sotsiaalse tegelikkuse "entroopia" kaasasündinud loomulikule inertsusele.





2. Ilmne läbikukkumine, alates elektroonilise võnkuva vooluringi sünnist, mistahes heli uuest tekitamisest, alates lihtsast helist kuni orkestriinstrumendini!




a. Seda tõestavad trautooniumid, thereminid ja martenot’, kõik Teise Maailmasõja eelsed üritused.



b. Alates sõjast oli kogu "elektrooniline" muusika samuti ebaõnnestunud, vaatamata suurtele lootustele viiekümnendatel, mil elektro-akustiline muusika rebiti välja oma hällist niinimetatud elektroonilist puhast heli tootvate sagedusgeneraatorite tõttu. Iga ainult sellistele helidele põhinev elektrooniline muusika on äratuntav oma lihtsakoelise kõla poolest, mis sarnaneb raadio atmosfäärihäirete või kõrgsagedusgeneraatoriga. Seriaalne süsteem, mida kasutati eriti palju elektroonilise muusika heliloojate poolt, ei suutnud mitte igal juhul tulemust parandada, kuna see ise oli liiga algeline. Ainult kui "puhtaid" elektroonilisi helisid raamiti teiste "konkreetsete" helidega, mis olid palju rikkamad ja palju huvitavamad (tänu E. Varese’le, Pierre Schaeffer’ile ja Pierre Henry’le), muutus elektrooniline muusika tõeliselt võimsaks.











c. Enamik seniseid üritusi kasutada kaasaegse tehnoloogia vilju arvuteid koos konverteritega tõestab, et vaatamata mõningasele edule(4), on kõlalised tulemused võrratult vähem huvitavad, kui neid tehti kümme aastat tagasi klassikalises elektro-akustilises stuudios sagedusgeneraatorite, filtrite, modulaatorite ja kajaseadmete abil.







Sellest kriitikast tulenevalt, mis on nende ebaõnnestumiste põhjuseks? Minu meelest on selleks mõned alljärgnevast:




1. Meyer-Eppleri uuringud näitasid, et ka kõige lihtsamate orkestrihelide spektraalanalüüs (mis moodustab juba eeldusena referentsiaalse süsteemi) näitab spektrijoonise varieerumist niihästi sageduse kui ka amplituudi puhul. Need pisikesed (teisejärgulised) muutused on aga olulised, tekitades erinevuse sagedusgeneraatori tekitatud väljamõeldud heli ülemhelide elutu summa ning orkestriinstrumendi poolt mängitud samade ülemhelide summa vahel. Need tillukesed varieerumised, mis leiavad aset heli permanentses, statsionaarses osas, nõuavad kindlasti uut lähenemisteooriat, teise funktsionaalse baasi ja harmoonilise analüüsi kasutamist kõrgemal tasemel, näiteks stohhastilised protsessid, Markovi ahelad, korrelatsioonis või autokorrelatsioonis seosed või mudelite ja vormide tuvastamise tõestusi. Kui nii, siis orkestriheli analüüsi teooria(6) vajab väga pikki ja keerulisi arvutusi, nii et kui me peaksime simuleerima sellise orkestriheli arvuti ja harmoonilise analüüsi esmasel tasandil, vajame me tohutut hulka arvutiaega, mis on hetkel võimatu.


















2. Näib, et transientne osa helist on tämbri tuvastamisel ja muusikas üldiselt kaugelt olulisem kui permanentne osa(7). Niisiis, mida rohkem muusika liigub "müralähedase" keeruka kõlavuse poole, seda olulisemaks ja keerulisemaks muutub transientne, ning mida rohkem nende trigonometriliste funktsioonide süntees tekitab mäe raskusi, seda aktsepteerimatumaks muutub arvuti jaoks permanentne osa. See oleks kui mägede lookleva silueti kujutamine ringi osade abil. Tegelikult on see tuhanded kordi keerulisem. Arukas kõrv on lõpmatult nõudlik, ja tema informatsiooninälg on kaugel rahuldatust. Suure hulga arvutuste probleem on võrreldav 19.sajandi klassikalise mehaanika probleemiga, mis jõudis gaaside kineetilise teooriani.














3. Puudub ülemhelianalüüsist sõltuv või sõltumatu mudelite ja vormide tuvastamise teooria, mis võimaldaks meid tõlkida trigonomeetriliste funktsioonide abil sünteesitud kõveraid tajutavateks vormideks või konfiguratsioonideks. Näiteks on hetkel võimatu defineerida väga mitmekesiste ostsilloskobi kõverate ekvivalentsusklasse, mille kõrv heidab samasse patta. Veelgi enam, kõrv ei tee vahet asjade vahel, mida tegelik akustiline teooria eristab (näiteks faasi erinevus, diferentsiaalse tundlikkuse võime) ning vastupidi.













Lõpetatud elementide kõrvutamise väärkontseptsioon



Võib-olla peitub nende probleemide põhiline põhjus mõistete ”lõplikkus” ja ”lõpmatus” improviseeritud segaduses. Näiteks on sinusoidaalse ostsillatsiooni puhul olemas ühikelement, valemis  sisalduv variatsioon. Niisiis kordub selle valemi lõplik variatsioon lõputult. Nii võib näha majanduses, see protseduur võib olla üks võimalikest optimeeringutest. Me töötame piiratud ajavahemiku jooksul (üks periood), seejärel kordame lõpmatult sama peaaegu ilma täiendava tööta. Põhiliselt seetõttu on meil mehhanism (näiteks siinusfunktsioon) tekitada lõplik ajaline objekt, mis kordub sama kaua kui me soovime. See pikk objekt on nüüd vaadeldav kui uus element, mida me kõrvutame sarnastega. Võimalus on joonistada igale muutujale (näiteks õhurõhk) kui aja funktsioonile oma variatsiooni abil eelnenud elementide lõplik superpositsioon (summa). Seda tehes uritame me saada tulemuseks irregulaarse kõvera, koos kasvava korrapäratusega, mida enam me läheneme "mürale". Ostsilloskoobis näib selline kõver üsna keerulisena. Kui me sunnime silma ära tundma selle kõvera erinevaid vorme või sümmeetriaid, on too peaaegu kindlasti võimetu tegema otsuseid lõikude kohta, mis kestavad vähem kui kümme mikrosekundit, kuna me peaksime neid jälgima kas liiga kiiresti või liiga aeglaselt: liiga kiiresti visuaalne tähelepanu tavaliste piiride jaoks ning liiga aeglaselt monitoriekraani piiride jaoks, mis surub hetk tasandil otsustamise vormide ja värvide globaalne taju tasemele. Teisalt, sama vältusega näite puhul, suudab kõrv ära tunda vorme ja mustreid ning seetõttu tajuda korrelatsioone fragmentide vahel rõhu kõverate mõistmise erinevatel tasanditel. Me ignoreerime kõrva sellise võime seadusi ja eeskirju keerulisemate ja üldiste juhtumite puhul, kuna me ei ole neist huvitatud. Siiski juhtumite puhul, milles me asetame siinuskõveraid üksteise peale, me teame, et allpool teatud keerukuse astet harutab kõrv lahti koostisosi ning et neist aistinguist kõrgemal on muundumised tämbriks, värviks, jõuks, liikumiseks, kareduseks ja korratuse astmeks ning see viib meid ignorantsuse tunnelisse. Kokkuvõttes me loodame, et õigesti kokku kuhjatud üksikelementide (puhtad helid, siinusfunktsioonid) puhul suudame me luua ükskõik millise soovitud heli (rõhukõvera), näiteks sellise, mis lõpeks väga tugeva, peagu stohhastilise irregulaarsusega. Seesama väide peab paika, kui iteratsiooni ühikelement on tuletatud teisiti kui siinusfunktsioonist. Üldiselt ja hoolimata ühikelemendi spetsiifilisest funktsioonist võib seda protseduuri nimetada lõplikult kõrvutatud elementide sünteesiks. Minu meelest sellest tulenevalt peaks olema võimalik neid põhimõttelisi vasturääkivusi vältida.*
































Tõenäolistele jaotustele põhinevad uued ettepanekud mikrokompositsiooni jaoks


Me tõstatasime vasturääkivuse ning seda tehes me loodame avada uue tee mikrohelisünteesi uurimisel -- pretendeerimata suuta simuleerida juba tuntud helisid, võiks siiski viia muusikat, tema psühhofüsioloogiat ja akustikat suunas, mis on üsna huvitav ja ootamatu.






Selmet alustada ühikelemendi kontseptsioonist ning selle väsimatust kordumisest ning selliste korduvate ühikelementide kasvavast korrapäratust superpositsioonist, võime me alustada korratuse kontseptsioonist ja seejärel esitleda vahendeid, mis seda suurendaksid või vähendaksid. Otsekui öeldes, me kasutame vastupidist teed:





Me ei soovi katkelisi ühikelemente kasutades konstrueerida keerulisi kõlastruktuure (tellised = siinus- või muid funktsioone); me soovime konstrueerida jätkuvalt varieeruvaid kõlasid, mida ei valmistata ühikelementidest. Selle meetodi puhul kasutatakse koheselt helirõhu stohhastilisi variante. Me võime ette kujutada nondeterministlikul viisil ettearvamatult piki rõhukoordinaattelge ümber tasakaalupositsiooni liikuvate osakeste toodetud rõhu variante. Seetõttu võime me ette kujutada  ka teatud "juhuslikku trajektoori" või nende mitmekordse kombinatsiooni kasutamist.









Meetod 1. Iga tõenäosusfunktsioon on eraldi stohhastiline variatsioon, millel on oma personaalsus (osakeste personaalne käitumine). Me võime niisiis kasutada neist igaüht. Nad võivad olla katkelised või jätkuvad; näiteks Poissoni, eksponentsiaalne , normaalne, uniformne, Cauchy , arkussiinus  või logistiline distributsioon.





Meetod 2. Võib sätestada juhusliku muutuja X kombinatsiooni iseendaga. Näide: kui  on X-i tõenäosusfunktsioon, võime me moodustada  (n-kordse funktsiooni  iseenda konvolutsiooni tähenduses) või  või mõni lineaarne, polünomiaalne,..., muutuja X funktsioon.





Meetod 3. Juhuslik muutuja (rõhk, aeg) võib olla teine, samuti juhusliku muutuja (elastsed jõud) funktsiooniks. Näide: rõhumuutuja x on tsentrifugaal- või tsentripetaaljõu  mõju all. Näiteks kui osake (rõhk) on  mõjustatud jõu wx (w on konstant) ja niisiis alludes Wiener-Lévy protsessile, siis selle tihedus oleks



kus x ja y on vastavalt momentide 0 ja t muutujate väärtused. (Tuntud kui Ornstein-Uhlenbecki protsess.) .










Meetod 4. Juhuslik muutuja liigub kahe peegeldava (elastse) barjääri vahel. Näide: Kui meil on taas Wiener-Lévy protsess kahe peegeldava barjääriga a > 0 ning null, siis selle juhusliku trajektoori tihedus oleks


kus x ja y on vastavalt hetkede 0 ja t muutujate väärtused ning

k = 0, ±1, ±2,... .
















Meetod 5. Tõenäosusfunktsiooni parameetreid võib vaadelda kui teiste tõenäosusfunktsioonide muutuja (randomisatsioonid, segud).










a. t on Poissoni distributsiooni parameeter ning eksponentsiaalse tihedus juhuslik muutuja . Kombinatsiooniks on



mis on geomeetriline distributsioon.


b. p ja q on juhusliku trajektoori tõenäosused hüppega ±1 (Bernoulli distributsioon). Suksessiivsete hüpete vahelised ajavahemikud on juhuslikud muutujad tavalise tihedusega (Poissoni distributsioon). Seetõttu positsiooni n tõenäosus hetkel t oleks , kus


on modifitseeritud astme n esimest liiki Besseli funktsioon.









Meetod 6. Lineaarne, polünomiaalne,..., tõenäosusfunktsioonide  kombinatsioonid  on vaadeldavad samahästi ka liitfunktsioonidena (distributsioonide perekondade segud, transformatsioonid Banachi ruumis, subordinatsioon jne.).




a. Kui A ja B on mingi jooneintervallide paar ja , kui  (q, sobiva korrapära tingimustes olev tõenäoline jaotus B-s antud x-i puhul ning jäykuv funktsioon x-is fikseeritud B puhul; niisiis sündmuse konditsionaalne tõenäosus , antud kui X = x) ja on  tõenäoline distributsioon, siis  esindavad segu distributsioonide perekonnast , mis sõltub parameetrist x, kui  töötab juhusliku parameetri distributsioonina.









b. Põimuvad tõenäosusdistributsioonid (modulatsioon). Kui  on vastavalt juhuslike muutujate tõenäosusdistributsioonid, siis me võime moodustada





või ükskõik millise kombinatsiooni (funktsionaalse või stohhastilise) nende summadest ja tulemustest. Veelgi enam,  ja  on võimalik genereerida kas sõltumatu determineeritud funktsiooni, sõltumatu stohhastilise protsessi või vastastikku determineeritud või indetermineeritud protsesside poolt. Mõnel neist juhtudest on meil tegu uueneva protsessi teooriaga, kui näiteks  oleks vaadeldav  ooteajana. Teisalt võib mõni neist juhtumeist vastata ka statistiliste ajaseeriate analüüsile. Tegelikkuses näib kõrv taipavat sellisest analüüsist kui ta tajub teatud heli põhitooni helikõrgusena koos tämbri, fluktuatsiooni või selle heli juhuslike korrapäratustega! Tegelikult peaks ajaseeriate analüüs olema leiutatud heliloojate poolt, kui üldse --.









c. Subordinatsioon [30]. Eeldadagem , siis on tõenäosuste lakkamatu üleminekuga (transition) Markovi protsess



(stohhastiline tuum sõltumatu s-st) ja , mittenegatiivsete sõltumatute inkrementidega protsess. Siis  on tõenäosuste üleminekuga Markovi protsess



kus  on  lõpmatult jagunev distributsioon.  on nimetatav olema subordineeritud -le, kasutades operatsionaalset aega  suunava protsessina.



Meetod 7. Tõenäosusfunktsioone võib liigitada klassidesse, s.o. kõverate algsetesse konfiguratsioonidesse. Need klassid on seejärel vaadeldavad kõrgema astme hulkade elementidena. Liigitus on saavutatav vähemalt kolme tüüpi kriteeriumide abil, mis võivad olla vastastikuses seoses:

a. tuletatud tõenäosusdistributsiooni  analüütiline allikas; gamma, beeta,..., ning suguluses olevad tihedused nagu vabadusastmel n tihedus  (Pearson); Studenti tihedus t; Maxwelli tihedus;

b. muu matemaatiline kriteerium nagu stabiilsus, lõpmatu jagunevus, ning

c. kõvera vormide karakteersed omadused: tasemel 0, kus juhuslik muutuja väärtused on aktsepteeritavad iseenesest; tasemel 1, kus neid väärtusi on akumuleeritud jne.












Meetod 8. Meetodis 7 visandatud manipulatsioonid distributsiooniklassidega viivad meid edasi makrokompositsiooni alale. Kuid me ei soovi jätkata neid spekulatsioone, kuna paljusid asju, mida käsitleti eelnevates peatükkides, võib kasutada endastmõistetaval viisil viljakalt. Näiteks nimetatud helimolekule, mida on toodetud ülalpooltoodud meetoditega, võib sisestada peatükis V toodud makrostruktuure vormivasse sohhastikaprogrammi ST. Sama võib öelda peatükkide II ja III kohta (Markovi protsessid makrotasandli). Mis puutub peatükkidesse VI ja VIII (sümbolmuusika ja rühmaorganisatsioon), ei ole keerulise mikroprogrammi loomine mitte väga, kuid see on täis rikkaid ja ootamatuid võimalusi.

Kõiki neid uusi ettepanekuid on uuritud Matemaaatika ja Automatiseeritud Muusika Keskuses (CMAMu) ning Indiana Ülikooli Muusikakoolis Bloomingtonis ning Prantsuse Kolled˛i Tuuma-uurimiskeskuses Pariisis. Kõigis neis kohtades on kättesaadavad  sämplit sekundis 16 bitise resolutsiooniga digitaal-analoog konverterid.




















Näide IX:1-8 olid kaalutletud ja sü˛ee at Uuring Arvutamine Keskus of Indiana Ülikool all supen'ision of Cornelia Colyer. Need graafik võima vastama heli vältus of 8 millisekund, ordinates olevus heli rõhk.





IIMathews, Max V. Tehnoloogia of Arvuti ll1usic. Cambridge: M.LT, Press, 1969.


ma 13




1 Stevens, S. S., ja Davis, H. Kuulmine. New York : John Wiley ja Poeg, 1948', Beranek, Lõvi L. Akustika. New York : ma\IcGraw-Hill, 1954.




2 Appelman, D. Ralph. Teadus of Hääleline Pedagoogika. Bloomington :' Ülikool Press, 1967.

*Uuesti trükkima from Formaliseeritud Muusika: Mõte ja Matemaatika in Kompositsioon, (Bloomington, Indiana Ülikool Press, 1971) koos luba of Kirjastaja.







3 Tere.ndemil.h, Paul. Ametioskus of Muusikaline Kompositsioon. 2 kd. New York : Seostama muusika Kirjastaja, 1942.



4 Risset;, Jean Claude. " Sissejuhatav Kataloog of Arvuti Sünteesima Heli. Avaldamata. Murray Küngas, New Kampsun: Kell Telefon Laboratoorium 1969.

      110   '



5 Meyer-Epler, W. Grundlagen und Anwendungen der Informatsioon Theone. Berliin: Springer-

Verlag, 1959.



6 Von Foerster, Heinz, ja Beauchamp, James W., toimetaja. Alusic kõrval Arvuti. New York : John Wiley ja Poeg, 1969.


7 Schaeffer, Pierre. Traite de obJets musicaux: Essai interdisciplines. Pariis: Väljaanne du Seuil, 1966.



9 Nahk, William. Sissejuhatus to Tõenäosusteooria ja Oma Appli·katioon. 2 \'. New York : John Wiley ja Poeg, 1966.








* Vaatamata see kriitika ma would meeldima tõmbama tähelepanu to võrratu manipulatory keel Muusika V of Max V. Mathews, mis saavutama lõplik sekkuma see protseduur ja automatiseerima see . II See keel kindlasti esindama elluviimine of unistama elektrooniline muusika helilooja in viiekümnendad.