|
APPENDIX II SIEVE THEORY" It is necessary to give an axiomatization
for the totally ordered structure (additive group structure = additive
Aristoxenean structure) of the tempered chromatic scale." ·The axiomatics
of the tempered chromatic scale is based on Peano's axiomatics of numbers: Preliminary terms. 0 = the stop at the
origin; n = a stop; n' = a stop resulting from elementary displacement of n;
D = the set of values of the particular sound characteristic (pitch, density,
intensity, instant, speed, disorder ... ). The values are identical with the
stops of the displacements. First propositions (axioms). 1. Stop
O is an element of D. 2.If stop n is an element of D then the new
stop n' is an element of D. 3. If stops n and m are elements of D then
the new stops n' and m' are identical if, and only if, stops n and m are
identical. 4. If stop n is an element of D, it will be
different from stop O at the origin. 5. If elements belonging to D have a
special property P, such that stop 0 also has it, and if, for every element n
of D having this property the element n' has it also, all the elements of D
will have the property P. We have just defined axiomatically a
tempered chromatic scale not only of pitch, but also of all the sound
properties or characteristics referred to above in D (density, intensity ...
). Moreover, this abstract scale, as Bertrand Russell has rightly observed, a
propos the axiomatics of numbers of Pea no, has no unitary displacement that
is either predetermined or related to an absolute size. Thus it may be
constructed with tempered semitones, with Aristoxenean segments
(twelfth-tones), with the commas of Didymos (81/80), with quarter-tones, with
whole tones, thirds, fourths, fifths, octaves, etc. or with any other unit
that is not a factor of a perfect octave. Now let us define another equivalent scale
based on this one but having a unitary displacement which is a multiple of
the first. It can be expressed by the concept of congruence modulo m. Definition. Two integers x and n are said
to be congruent modulo m when m is a factor of x - n. It may be expressed as
follows: x == n (mod m). Thus, two integers are congruent modulo m when and
only when they differ by an exact (positive or negative) multiple ofm; e.g.,
4 == 19 (mod 5), 3 == 13 (mod 8), 14 == 0 (mod 7). Consequently, every integer is congruent
modulo m with one and with only one value of n: n = (0, 1, 2, ... , m - 2, m - 1). Of each of these numbers it is said that it
forms a residual class modulo m; they are, in fact, the smallest non-negative
residues modulo m. x == n(mod m) is thus equivalent to x = n + km, where k is
an integer. k E Z = {O, ± 1, ± 2, ± 3, ... }. For a given n and for any k E Z, the
numbers x will belong by definition to the residual class n modulo m. This
class can be denoted mno In order to grasp these ideas in terms of
music, let us take the tempered semi tone of our present-day scale as the
unit of displacement. To this we shall again apply the above axiomatics, with
say a value of 4 semitones (major third) as the elementary displacement.* We
shall define a new chromatic scale. If the stop at the origin of the first
scale is a D#, the second scale will give us all the multiples of 4
semitones, in other words a "scale" of major thirds: D#, G, B,
D':j!:, G', B'; these are the notes of the first scale whose order numbers
are congruent with 0 modulo 4. They all belong to the residual class 0 modulo
4. The residual classes 1, 2, and 3 modulo 4 will use up all the notes of
this chromatic total. These classes may be represented in the following
manner: residual class 0 modulo 4: 40 residual
class 1 modulo 4:41 residual class 2 modulo 4:42 residual class 3 modulo 4:43
residual class 4 modulo 4: 40, etc. Since we are dealing with a sieving of the
basic scale (elementary displacement by one semi tone), each residual class
forms a sieve allowing certain elements of the chromatic continuity to pass
through. By extension the chromatic total will be represented as sieve 10'
The scale of fourths will be given by sieve 5n, in which n = 0, 1, 2, 3, 4.
Every change of the index n will entail a transposition of this gamut. Thus
the Debussian whole-tone scale, 2n with n = 0, 1, has two transpositions: 20
--+ C, D, E, F:j!:, G:j!:, A:j!:, C .
21
--+ C:j!:, D#, F, G, A, B, C:j!: .
Starting from these elementary sieves we
can build more complex scales-all the scales we can imagine-with the help of
the three operations of the Logic of Classes: union (disjunction) expressed
as V, intersection (conjunction) expressed as II, and complementation
(negation) expressed as a bar inscribed over the modulo of the sieve. Thus 20 V 21 = chromatic total (also expressible
as 10) 30 II 21 = n~ notes, or empty sieve, expressed as 0 20 = 21 and 21 =
20' The major scale can be written as follows: By definition, this notation does not
distinguish between all the modes on the white keys of the piano, for what we
are defining here is the scale; modes are the architectures founded on these
scales. Thus the white-key mode D, starting on D, will have the same notation
as the C mode. But in order to distinguish the modes it would be possible to
introduce noncommutativity in the logical expressions. On the other hand each
of the 12 transpositions of this scale will be a combination of the cyclic
permutations of the indices of sieves modulo 3 and 4. Thus the major scale
transposed a semi tone higher (shift to the right) will be written and in general (3n+2 II 4n) V (3n+1 1\ 4n+1) V (3n+2 1\
4n+2) V (3n 1\ 4n+3), where n can assume any value from 0 to 11,
but reduced after the addition ~f th~ constant index of each of the sieves
(moduli), modulo the correspondmg SIeve. The scale of D transposed onto C is
written (3n 1\ 4n) V (3n+1 1\
4n+1) V (3n 1\ 4n+2) V (3n+2 1\ 4n+3). Musicology Now let us change the basic unit
(elementary displacement ELD) of the sieves and use the quarter-tone. The
major scale will be written (8n 1\ 3n+1) V (8n+2
1\ 3n+2) V (8nH 1\ 3n+1) V (8n+61\ 3n), with n = 0, 1, 2, ... , 23 (modulo 3 or 8).
The same scale with still finer sieving
(one octave = 72 Aristoxenean segments) will be written (8n /\ (9n V 9n+6)) V (8n+2 /\ (9n+3 V
9n+6)) V (8nH /\ 9n+3) V (8n+6/\ (9n V 9n+3)), with n = 0, 1,2, ... ,71 (modulo 8 or 9). One of the mixed Byzantine scales, a
disjunct system consisting of a chromatic tetrachord and a diatonic
tetrachord, second scheme, separated by a major tone, is notated in Aristoxenean
segments as 5, 19, 6; 12; 11, 7, 12, and will be transcribed logically as (8n /\ (9n V 9n+6)) V
(9n+6 /\ (8n+2 V 8nH)) V (8n+5 /\ (9n+5 V
9n+8)) V (8n+6 V 9n+3), with n = 0, 1,2, ... , 71 (modulo 8 or 9). The Raga Bhairavi of the Andara-Sampurna
type (pentatonic ascending, heptatonic descending),* expressed in terms of an
Aristoxenean basic sieve (comprising an octave, periodicity 72), will be
written as: Pentatonic scale: (8n /\ (9n V 9n+3)) V (8n+2 /\ (9n V 9n+6))
V (8n+6 /\ 9n+3) Heptatonic scale: (8n /\ (9n V 9n+3)) V (8n+2 /\ (9n V 9n+6))
V (8nH /\ (9nH V 9n+6)) V (8n+6 /\ (9n+3 V 9n+6)) with n = 0, 1, 2, ... , 71 (modulo 8 or 9). These two scales expressed in terms of a sieve
having as its elementary displacement, ELD, the comma of Didymos, ELD = 81/80
(81/80 to the power 55.8 = 2), thus having an octave periodicity of 56, will
be written as: Pentatonic scale: (8n /\ (9n V 9n+3)) V
(8n+2 /\ (9n V 9n+6)) V (8n+6 /\ 9n+3) Heptatonic scale: (7 n /\ (8n V 8n + 6)) V (7 n + 2 /\ (8n +
5 V 8n + 7)) V (7 n + 3 /\ 8n + 3) V (7n+4 /\ (8n+4 V 8n+J) V (7n+5 /\ 8n+1) for n = 0, 1, 2, ... , 55 (modulo 7 or 8). We have just seen how the sieve theory
allows us to express-any scale in terms of logical (hence mechanizable)
functions, and thus unify our study of the structures of superior range with
that of the total order. It can be useful in entirely new constructions. To
this end let us imagine complex, non-octave-forming sieves. -I(. Let us take
as our sieve unit a tempered quarter-tone. An octave contains 24
quarter-tones. Thus we have to construct a compound sieve with a periodicity
other than 24 or a multiple of 24, thus a periodicity non-congruent wi'th k·
24 modulo 24 (for k = 0, I, 2, ... ). An example would be any logical
function of the sieve of moduli 11 and 7 (periodicity II x 7 = 77 f; k·24),
(I In V 11n+1) /\ 7n+6o This establishes an asymmetric distribution of the
steps of the chromatic quartertone scale. One can even use a compound sieve
which throws periodicity outside the limits of the audible area; for example,
any logical function of modules 17 and 18 (f[17, 18]), for 17 x 18 = 306 >
(11 x 24). Suprastructures One can apply a stricter structure to a
compound sieve or simply leave the choice of elements to a stochastic
function. We shall obtain a statistical coloration of the chromatic total
which has a higher level of complexity. Using metabolae. We know that at every
cyclic combination of the sieve indices (transpositions) and at every change
in the module or moduli of the sieve (modulation) we obtain a metabola. As
examples of metabolic transformations let us take the smallest residues that
are prime to a positive number r. They will form an Abelian (commutative)
group when the composition law for these residues is defined as
multiplication with reduction to the least positive residue with regard to r.
For a numerical example let r = 18; the residues I, 5, 7, 11, 13, 17 are
primes to it, and their products after reduction modulo 18 will remain within
this group (closure). The finite commutative group they form can be
exemplified by the following fragment: 5 x 7 = 35; 35 - 18 = 17; 11 x 11 = 121; 121 - (6 x 18) = 13; etc. Modules 1, 7, 13 form a cyclic sub-group of
order 3. The following is a logical expression of the two sieves having
modules 5 and 13: L(5, 13) = (13nH V 13n+5 V 13n+7 V 13n+9) /\ 5n+1 V (5n+2 V 5nH) /\ 13n+9 V 13n+6' One can imagine a transformation of modules
in pairs, starting from the Abelian group defined above. Thus the cinematic
diagram (in-time) will be L(5, 13) --+L(I1, 17) --+L(7, 11) --+L(5,
1) --+L(5, 5) --+ ..o --+L(5, 13) so as to return to the initial term
(closure). * * This sieve theory can be put into many
kinds of architecture, so as to create included or successively intersecting
classes, thus stages of increasing complexity; in other words, orientations
towards increased determinisms in selection, and in topological textures of
neighborhood. Subsequently we can put into in-time
practice this veritable histology of outside-time music by means of temporal
functions, for instance by giving functions of change-of indices, moduli, or
unitary displacement-in other words, encased logical functions parametric
with time. Sieve theory is very general and
consequently is applicable to any other sound characteristics that may be
provided with a totally ordered structure, such as intensity, instants,
density, degrees of order, speed, etc. I have already said this elsewhere, as
in the axiomatics of sieves. But this method can be applied equally to visual
scales and to the optical arts of the future. Moreover, in the immediate future we shall
witness the exploration of this theory and its widespread use with the help
of computers, for it is entirely mechanizable. Then, in a subsequent stage,
there will be a study of partially ordered structures, such as are to be
found in the classification of timbres, for example, by means of lattice or
graph techniques. Conclusion I believe that music today could surpass
itself by research into the outside-time category, which has been atrophied
and dominated by the temporal category. Moreover this method can unify the
expression of fundamental structures of all Asian, African, and European
music. It has a considerable advantage: its mechanization-hence tests and
models of all sorts can be fed into computers, which will effect great
progress in the musical sciences. In fact, what we are witnessing is an industrialization
of music which has already started, whether we like it or not. It already
floods our ears in many public places, shops, radio, TV, and airlines, the
world over. It permits a consumption of music on a fantastic scale, never
before approached. But this music is of the lowest kind, made from a
collection of outdated cliches from the dregs of the musicahnind. Now it is
not a matter of stopping this invasion, which, after all, increases
participation in music, even if only passively. It is rather a question of
effecting a qualitative conversion of this music by exercising a radical but
constructive critique of our ways of thinking and of making music. Only in
this way, as I have tried to show in the present study, will the musician
succeed in dominating and transforming this poison that is discharged into
our ears, and only if he sets about it without further ado. But one must also
envisage, and in the same way, a radical conversion of musical education,
from primary studies onwards, throughout the entire world (all national
councils for music take note). Non-decimal systems and the logic of classes
are already taught in certain countries, so why not their application to a
new musical theory, such as is sketched out here? *Reprinted from Formalized Music: Thought
and Mathematics in Composition, (Bloomington, Indiana University Press, 1971)
with permission of the Publisher. ** Cf. my text on disc L.D.X. A-8368,
issued by Le Chant du Monde. See also Gravesaner Bliitter, no. 29, and
Chap. VI of Formalized Music. * Among themselves the elementary
displacements are like the integers, that is, they are defined like elements
of the same axiomatics. * Cf. Alain Daniclou, Northern Indian
Alusic (Barnet, Hertfordshire: Halcyon Press, 1954), vol. II, p. 72. 106 * This perhaps fullfills Edgard Varese's
wish for a spiral scale, that is, a cycle of fifths which would not lead to a
perfect octave. This information, unfortunately abridged, was given me by
Odile Vivier. (IX) * These last structures were used in Akrata
(1964) for sixteen winds, and in Nomos alpha (1965) for solo cello. |
SÕELATEOORIA Eesmärk on esitada totaalselt korrastatud
tempereeritud kromaatilise helirea struktuuri aksiomatisatsioon (aditiivne
rühmastruktuur = aditiivne Aristoxenese struktuur). Tempereeritud kromaatilise helirea aksiomaatika põhineb
Peano arvude aksiomaatikal: Sissejuhatavad terminid: O = algtõkend; n =
tõkend; n’ = n -i elementaarnihke resultaattõkend; D = algsete heliomaduste
(helikõrgus, tihedus, intensiivsus, moment, kiirus, korratus...) hulk. Väärtused on identsed nihete tõkenditega. Esimesed eeldused (aksioomid): 1. Tõkend O on D element. 2. Kui tõkend n on D
element, järelikult uus tõkend n’ on D element. 3. Kui tõkendid n ja m
on D elemendid, siis uued tõkendid n’ ja m’ on identsed siis ja ainult siis,
kui tõkendid n ja m on identsed. 4. Kui tõkend n on D
element, võib ta olla algtõkendist O erinev. 5. Kui D-sse
kuuluvatel elementidel on eriomadus P, nii et see on ka tõkendil O, ning kui
igal D elemendil n on see omadus, siis on see ka elemendil n’, on kõigil D
elementidel omadus P. Oleme nüüd
aksiomaatiliselt defineerinud temepereeritud kromaatilise helirea, mitte
ainult helikõrguse, vaid ka kõigi heliomaduste poolest, mis on omased
ülalmainitud D -le (tihedus, intensiivsus...). Pealegi, see abstraktne
skaala, nagu Bertrand Russell on õigesti täheldanud, muide ka Peano arvude
aksiomaatika, ei oma ühtset nihet, mis oleks kas ette määratud või suhtes absoluutse
suurusega. Järelikult tuleb see konstrueerida tempereeritud pooltoonide,
Aristoxenese segmentide (kaheteistkümnendiktoonide), Didymose komma (81/80),
veerandtoonide, täistoonide, tertside, kvartide, kvintide, oktaavide jne.
abil või mõne muu ühiku abil, mis pole puhta oktaavi teguriks. Defineerigem nüüd teine
ekvivalentne skaala, mis põhineb sellele, kuid mille ühiknihe on esimese
kordne. Seda võib väljendada kongruentse mooduli m kontseptsiooni abil. Definitsioon. Kaht
täisarvu x ja n võib nimetada kongruentseks mooduliks m, kui m on x -i
teguriks n. Seda võib väljendada järgmiselt: x ≡ n (mod m). Järelikult
on kaks täisarvu kongruentsed modulo m, siis ja ainult siis, kui nad erinevad
täpse (positiivse või negatiivse) teguri m poolest; näiteks 4 ≡ 19 (mod
5), 3 ≡ 13 (mod 8), 14 ≡ 0 (mod 7). Järelikult on iga
täisarv kongruentne modulo m ühe ja ainult ühe n -i väärtusega: n =
(0,1,2,...,m-2,m-1). Iga sellise arvu kohta
võib öelda, et see moodustab modulo m jääkklassi; milleks on faktiliselt
modulo m väikseimad mittenegatiivsed jäägid. x ≡ n (mod m) on niisiis x
≡ n + km ekvivalent, kui k on täisarv. k Î Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}. Antud n –i ja iga k Î Z puhul kuuluvad arvud
x definitsiooni kohaselt jääkklassi n modulo m. Seda klassi võib tähistada Mõistmaks neid ideid
muusika termites, võtkem nihke ühikuks tempereeritud pooltoon. Selleks
kohaldagem taas ülaltoodud aksiomaatikat, nimetades nelja pooltooni väärtust
(suur terts) elementaarnihkeks. (Kusjuures elementaarnihked on kui täisarvud,
mis tähendab, nad on defineeritud kui sama aksiomaatika elemendid.) Me võime
defineerida uues kromaatilise helirea. Kui esimese skaala algtõkend on Dis, siis
nelja täistooni kordsed annavad meile uue skaala, teisisõnu suurtest
tersidest koosneva “skaala” Dis, G, H, Dis1, G1, H1; need on esimese skaala
helid, mille järjekorranumbrid on kongruentsed 0 modulo 4 –ga. Kõik nad
moodustavad jääkklassi 0 modulo 4. Kasutades jääkklasse 1, 2 ja 3 modulo 4,
saame me kromaatilise skaala kõik helid. Neid klasse võib kujutada
järgmiselt: jääkklass 0 modulo 4: jääkklass 1 modulo 4: jääkklass 2 modulo 4: jääkklass 3 modulo 4: jääkklass 4 modulo 4: Tegeldes põhihelirea
(ühe pooltooni elementaarnihke) sõelumisega, moodustab iga jääkklass sõela, mis
arvestab läbikammimisel kromaatilise katkematu terviku kindlate elementidega.
Kromaatilise terviku laiendusena võib määratleda sõela
Alustades sellest algsest
sõelast võime me ehitada palju keerulisemaid heliridu – kõiki neid heliridu
võime me kujutada kolme loogikaklasside operatsiooni abil: ühend
(disjunktsioon), tähis Ú; ühisosa (konjunktsioon), tähis Ù ja komplementatsioon (negatsioon) tähistatakse
tõkendina, kirjeldatuna sõela modulo juures. Niisiis
Mažoorse helirea võib
kirjutada järgmiselt:
Vastavalt
definitsioonile ei tee selline esitus vahet erinevate klaveri valgete
klahvide laadide vahel, mille jaoks see skaala on defineeritud; laadid on
sellele skaalale põhinevad arhitektuurid. Seega valgete klahvide laadil D,
mis algab helist D, on esitus nagu C laadil. Aga viisis eristada laade on
võimalik tekitada loogiliste tähiste
abil mittekommunikatiivsust. Teisalt igaüks selle skaala kaheteistkümnest
transpositsioonist on sõela moodulite 3 ja 4 indeksite tsüklilise
permutatsiooni kombinatsioonideks. Seega pool tooni kõrgemale transponeeritud
mažoorskaala (nihe paremale)võib kirja panna
ja üldiselt
kus n võib saada
ükskõik millise väärtuse nullist üheteistkümneni, aga redutseeritakse pärast sõela
(mooduli) iga püsiva indeksi liitmist, modulo vastav sõel. D skaala
transponeerituna C –sse on kirjutatav
Musikoloogia Nüüd muutkem sõela algühikut
(algnihet, elementary displacement ELD) ja kasutagem veerandtoone. Mažoorne
helirida kirjutatakse
kusjuures n = 0, 1, 2,
... , 23 (modulo 3 või 8). Sama skaala veelgi
peenema sõela abil (üks oktaav = 72 Aristoxenese segmenti) oleks kirjutatud
kui n = 0,1,2,...,71
(modulo 8 või 9). Üks bütsantsi segatud
skaaladest, milles üks süsteem koosneb kromaatilisest tetrakordist ja diatoonilisest
tetrakordist, ning teine skeem, eraldatav täistoonidega, on noteeritav
Aristoxenese segmentidena 5, 19, 6; 12; 11, 7, 12, ning loogiliselt
transkribeeritav
kui n = 0, 1,2, ... ,
71 (modulo 8 või 9). Andara-Sampurna
Bhairavi raga tüüp (tõusev pentatoonika, laskuv heptatoonika),* väljendatuna
Aristoxenean põhisõela teminites (sisaldades oktaavi, perioodilisusega 72),
võib kirjutada: Pentatooniline skaala:
Heptatooniline skaala:
kui n = 0, 1, 2, ... ,
71 (modulo 8 või 9). Neid kahte
sõelateooria terminitega väljendatud skaalat, millel on oma algnihe, ELD,
Didymose komma, ELD = 81/80 (81/80 astmel 55.8 = 2), omades seega 56-st
oktaavi perioodilisust, võib kirjutada: Pentatooniline skaala:
Heptatooniline skaala:
kui n = 0, 1, 2, ... ,
55 (modulo 7 või 8). Nägime äsja, kuidas
sõelateooria võimaldab meil väljendada ükskõik millist skaalat loogiliste
(seetõttu mehhaniseeritavate) funktsioonide terminites ning seob hiiglasliku
ulatusega struktuuride uurimise täieliku korrastatusega. See võib olla
kasulik täiesti uute konstruktsioonide puhul. Kujutagem näiteks ette
keerulisi mitte oktaavilise ehitusega sõelu.* Võtkem sõela ühikuks
tempereeritud veerandtoon. Oktaav sisaldab kahekümne neljast veerandtoonist.
Seega konstrueerigem terve sõel muu perioodilisusega kui kakskümmend neli või
kahekümne nelja kordne, niisiis perioodilisusega mis ei ole kongruentne k·24 modulo 24 (kui k = 0,1,2,...).
Näiteks sõela modulo 11 ja 7
loogilised funktsioonid (perioodilisusega 11 x 7 = 77 Suprastruktuurid Kompleksse sõela
rakendamisel võib kasutada ranget struktuuri või tugineda elementide valikul lihtsalt
stohhastilistele funktsioonidele. Statistiliselt võime me anda
täiskromaatikale selliselt kõrgeimal tasemel kompleksse värvingu. Metaboolide kasutamine.
Me teame, et sõela indeksite (transpositsioonide) iga tsükliline
kombinatsioon ning iga sõela modulo või modulote muutus (modulatsioon) annab
metabooli. Näitena metaboolsetest transformatsioonidest võtkem väikseimad
algarvulised jäägid kuni positiivse arvuni r. Need moodustavad Abeli
(kommutatiivse) rühma, kui nende jääkide moodustumise seadus on defineeritud
korrutamisena koos redutseerimisega väikseimasse positiivsesse jääki, mis
kuulub arvude hulka r. Näiteks olgu r = 18; jäägid 1,5,7,11,13,17 on algarvud
enne seda ning nende tulemusteks pärast redutseerimist modulo 18 jääks
sellesse rühma (sulgu). Lõplikku nende poolt vormitavat kommutatiivset rühma
näitlikustab järgmine fragment: 5 x 7 = 35; 35 - 18 =
17; 11 x 11 = 121; 121 -
(6 x 18) = 13; jne. Modulo 1, 7, 13
tekitab tsüklilise allrühma astmel 3. Järgnev on kahe sõela moodul 5 ja 13,
loogiline väljendus:
Võime ette kujutada moodulite
muundumist paaridena, lähtudes ülalpool defineeritud Abeli rühmast. Seega
kinemaatiline skeem (ajas) oleks
jõudes tagasi
algliikmeteni (sulgumine). * * Selline sõelateooriat
võib rakendada mitut liiki arhitektuurides, niihästi loomaks ühiseid või
järjestikku lõikuvaid klasse kui ka kasvava komplekssuse tasandeid;
teisisõnu, suundumusi valiku ning topoloogiliste naabertekstuuride kasvava
determinismi suunas. Järgnevalt võime me
ajaliste funktsioonide abil asetada ajalisse praktikasse selle ajavälise
muusika tõelise histoloogia, näiteks andes juhuse funktsioonidele --
indeksitele, modulotele või ühiknihetele -- teisisõnu piiratud loogiliste
funktsioonide parameetristiku koos ajaga. Sõelateooria on vägagi
üldine ning järelikult rakendatav ka muude heliparameetrite puhul, kandes
hoolt kogu täielikult korrastatud struktuuri, nagu helitugevuse, momentide,
tiheduse, korraldatuse määra, kiiruse, jne. eest. Ütlesin seda juba mujal
sõela aksiomaatika juures. Aga seda meetodit võib tulevik samahästi rakendada
visuaalsete skaalalade ja optiliste kunstide puhul. Veelgi enam,
lähitulevik oleme me tunnistajaks selle teooria uurimisele ja laialdasele kasutamisele
arvuti abil, kuna see on täielikult mehhaniseeritav. Siis, järgmisel
tasandil, kus on osaliselt korrastatud struktuuride uurimine, millele on
rajatud näiteks tämbrite liigitus koordinaatteljestiku või graafiliste
tehnikate mõistes. Järeldus Ma usun, et tänapäeva
muusika suudab ennast ületada uurides ajaväliseid kategooriaid, mis olid
atrofeerunud ja domineerisid temporaalsete kategooriate puhul. Veel enam, see
meetod võib ühendada kogu aasia, aafrika ning euroopa muusika põhistruktuuride
ilmingud. Sellel on kaalukas eelis: oma mehhaniseeritavuse -- järelikult igat
laadi arvutile ette söödetavate katsete ja modelleerimiste tõttu, mis tõotab
muusikateadusele suurt progressi. Kas meeldib või mitte,
oleme me tegelikult tunnistajaks juba alanud muusika industrialiseerumisele.
Juba ujutatakse meie kõrvad üle paljudes avalikes paikades, poodides,
raadios, TV’s ja lennukites, üle maailma. See võimaldab muusikat tarbida
fantastilisel määral, enneolematult. Aga see muusika on madalaimat sorti,
valmistatud iganenud klišeede kollektsioonist, muusikalise teadvuse
põhjasaastast. Nüüd ei ole küsimus selle invasiooni peatamises, mis lõppude
lõpuks suurendab osalemist muusikas, olgu või passiivselt. Pigem on küsimus
selle muusika kvalitatiivse konverteerimise efektis treenides meie mõtteviisi
ja muusikategemise radikaalset kuid konstruktiivset kriitikat. Ainult sel
teel, nagu ma proovisin näidata käesolevas uurimuses, võib muusik saavutada
ülekaalu ning muundada see mürk, mis meie kõrvu täidab ning ainult siis, kui
ta asub selle kallale ilma pikema jututa. Aga vaimusilmas peab
ka samal viisil nägema muusikahariduse radikaalset pööret kogu maailmas,
alates esmaõppest (kõiki rahvuslikke muusikanõukogusid kaasa haarates). Mittedetsimaalseid
süsteeme ja klasside loogikat juba mõnedes maades õpetatakse, miks siis mitte
ka nende avaldust uues muusikateoorias, nagu on visandatud siin? *Uustrükk raamatust ”Formaliseeritud
muusika: heliloomingu mõte ja matemaatika”, (Bloomington,
Indiana Ülikool Press, 1971) kirjastaja
loal. ** Vt. minu CD L.D.X. A-8368 saatetekst, väljaandja Le Chant du
Monde. Vrd. Gravesaner Bliitter,
nr. 29 ning “Formaliseeritud muusika”, VI peatükk. 103 * Nende hulgas algnihked
on kui täisarvud, mis tähendab, et nad on defineeritavad nagu sama
aksiomaatika elemendid. * Vt. Alain
Daniclou, Põhja- Indiaani Alusic (Barnet,
Hertfordshire: Halcyon Press, 1954), kd.
II, p. 72. 106 * See täidab ehk Edgard Varese
soovi spiraalse skaala suhtes, mis tähendab kvindiringi, mis ei päädi puhta
oktaaviga. See informatsioon, kahjuks kärbituna, jõudis minuni Odile Vivier’
kaudu. (IX) * Neid viimaseid
struktuure oli kasutatud Akratas (1964) kuueteistkümnele puhkpillile, ja Nomos alfas (1965) soolotšellole. |
.
;
;
;
;
, jne.
. Kvarthelirida võib esitada sõelana 
, kus n = 0,1,2,3,4. Iga indeksi n muutus toob kaasa selle
gamma transpositsiooni. Niisiis Debussy täistoonhelireal 
, kus n = 0,1, on kaks transpositisooni:
= täielik kromaatika (tähistatav ka kui 
)
= helid puuduvad või tühi sõel, tähis 
ja 
.
,
,
,
, mis sätestab kromaatilise veerandtoonskaala atmete
asümmeetrilise jaotuse. Samuti võib kasutada komplekkseid sõelu, mis saadavad
perioodilisuse väljapoole kuuldava ala piire; näiteks modulo 17 ja 18
loogilised funktsioonid (
