It is necessary to give an axiomatization for the totally ordered structure (additive group structure = additive Aristoxenean structure) of the tempered chromatic scale." ·The axiomatics of the tempered chromatic scale is based on Peano's axiomatics of numbers:


Preliminary terms. 0 = the stop at the origin; n = a stop; n' = a stop resulting from elementary displacement of n; D = the set of values of the particular sound characteristic (pitch, density, intensity, instant, speed, disorder ... ). The values are identical with the stops of the displacements.


First propositions (axioms).

1.    Stop O is an element of D.

2.If stop n is an element of D then the new stop n' is an element of D.

3. If stops n and m are elements of D then the new stops n' and m' are identical if, and only if, stops n and m are identical.

4. If stop n is an element of D, it will be different from stop O at the origin.

5. If elements belonging to D have a special property P, such that stop 0 also has it, and if, for every element n of D having this property the element n' has it also, all the elements of D will have the property P.


We have just defined axiomatically a tempered chromatic scale not only of pitch, but also of all the sound properties or characteristics referred to above in D (density, intensity ... ). Moreover, this abstract scale, as Bertrand Russell has rightly observed, a propos the axiomatics of numbers of Pea no, has no unitary displacement that is either predetermined or related to an absolute size. Thus it may be constructed with tempered semitones, with Aristoxenean segments (twelfth-tones), with the commas of Didymos (81/80), with quarter-tones, with whole tones, thirds, fourths, fifths, octaves, etc. or with any other unit that is not a factor of a perfect octave.


Now let us define another equivalent scale based on this one but having a unitary displacement which is a multiple of the first. It can be expressed by the concept of congruence modulo m.


Definition. Two integers x and n are said to be congruent modulo m when m is a factor of x - n. It may be expressed as follows: x == n (mod m). Thus, two integers are congruent modulo m when and only when they differ by an exact (positive or negative) multiple ofm; e.g., 4 == 19 (mod 5), 3 == 13 (mod 8), 14 == 0 (mod 7).


Consequently, every integer is congruent modulo m with one and with only one value of n:

n = (0, 1, 2, ... , m - 2, m - 1).


Of each of these numbers it is said that it forms a residual class modulo m; they are, in fact, the smallest non-negative residues modulo m. x == n(mod m) is thus equivalent to x = n + km, where k is an integer.

k E Z = {O, ± 1, ± 2, ± 3, ... }.


For a given n and for any k E Z, the numbers x will belong by definition to the residual class n modulo m. This class can be denoted mno


In order to grasp these ideas in terms of music, let us take the tempered semi tone of our present-day scale as the unit of displacement. To this we shall again apply the above axiomatics, with say a value of 4 semitones (major third) as the elementary displacement.* We shall define a new chromatic scale. If the stop at the origin of the first scale is a D#, the second scale will give us all the multiples of 4 semitones, in other words a "scale" of major thirds: D#, G, B, D':j!:, G', B'; these are the notes of the first scale whose order numbers are congruent with 0 modulo 4. They all belong to the residual class 0 modulo 4. The residual classes 1, 2, and 3 modulo 4 will use up all the notes of this chromatic total. These classes may be represented in the following manner:

residual class 0 modulo 4: 40 residual class 1 modulo 4:41 residual class 2 modulo 4:42 residual class 3 modulo 4:43 residual class 4 modulo 4: 40, etc.


Since we are dealing with a sieving of the basic scale (elementary displacement by one semi tone), each residual class forms a sieve allowing certain elements of the chromatic continuity to pass through. By extension the chromatic total will be represented as sieve 10' The scale of fourths will be given by sieve 5n, in which n = 0, 1, 2, 3, 4. Every change of the index n will entail a transposition of this gamut. Thus the Debussian whole-tone scale, 2n with n = 0, 1, has two transpositions:


      20 --+ C, D, E, F:j!:, G:j!:, A:j!:, C       .

      21 --+ C:j!:, D#, F, G, A, B, C:j!:       .


Starting from these elementary sieves we can build more complex scales-all the scales we can imagine-with the help of the three operations of the Logic of Classes: union (disjunction) expressed as V, intersection (conjunction) expressed as II, and complementation (negation) expressed as a bar inscribed over the modulo of the sieve. Thus

20 V 21 = chromatic total (also expressible as 10) 30 II 21 = n~ notes, or empty sieve, expressed as 0 20 = 21 and 21 = 20'


The major scale can be written as follows:



By definition, this notation does not distinguish between all the modes on the white keys of the piano, for what we are defining here is the scale; modes are the architectures founded on these scales. Thus the white-key mode D, starting on D, will have the same notation as the C mode. But in order to distinguish the modes it would be possible to introduce noncommutativity in the logical expressions. On the other hand each of the 12 transpositions of this scale will be a combination of the cyclic permutations of the indices of sieves modulo 3 and 4. Thus the major scale transposed a semi tone higher (shift to the right) will be written


and in general

(3n+2 II 4n) V (3n+1 1\ 4n+1) V (3n+2 1\ 4n+2) V (3n 1\ 4n+3),


where n can assume any value from 0 to 11, but reduced after the addition ~f th~ constant index of each of the sieves (moduli), modulo the correspondmg SIeve. The scale of D transposed onto C is written


(3n 1\ 4n) V (3n+1 1\ 4n+1) V (3n 1\ 4n+2) V (3n+2 1\ 4n+3).




Now let us change the basic unit (elementary displacement ELD) of the sieves and use the quarter-tone. The major scale will be written


(8n 1\ 3n+1) V (8n+2 1\ 3n+2) V (8nH 1\ 3n+1) V (8n+61\ 3n),

with n = 0, 1, 2, ... , 23 (modulo 3 or 8).


The same scale with still finer sieving (one octave = 72 Aristoxenean segments) will be written


(8n /\ (9n V 9n+6)) V (8n+2 /\ (9n+3 V 9n+6)) V (8nH /\ 9n+3) V (8n+6/\ (9n V 9n+3)),


with n = 0, 1,2, ... ,71 (modulo 8 or 9).


One of the mixed Byzantine scales, a disjunct system consisting of a chromatic tetrachord and a diatonic tetrachord, second scheme, separated by a major tone, is notated in Aristoxenean segments as 5, 19, 6; 12; 11, 7, 12, and will be transcribed logically as


(8n /\ (9n V 9n+6)) V (9n+6 /\ (8n+2 V 8nH))

V (8n+5 /\ (9n+5 V 9n+8)) V (8n+6 V 9n+3),


with n = 0, 1,2, ... , 71 (modulo 8 or 9).


The Raga Bhairavi of the Andara-Sampurna type (pentatonic ascending, heptatonic descending),* expressed in terms of an Aristoxenean basic sieve (comprising an octave, periodicity 72), will be written as:

Pentatonic scale:

(8n /\ (9n V 9n+3)) V (8n+2 /\ (9n V 9n+6)) V (8n+6 /\ 9n+3)


Heptatonic scale:

(8n /\ (9n V 9n+3)) V (8n+2 /\ (9n V 9n+6)) V (8nH /\ (9nH V 9n+6)) V (8n+6 /\ (9n+3 V 9n+6))


with n = 0, 1, 2, ... , 71 (modulo 8 or 9).


These two scales expressed in terms of a sieve having as its elementary displacement, ELD, the comma of Didymos, ELD = 81/80 (81/80 to the power 55.8 = 2), thus having an octave periodicity of 56, will be written as:


Pentatonic scale:

(8n /\ (9n V 9n+3)) V (8n+2 /\ (9n V 9n+6)) V (8n+6 /\ 9n+3)


Heptatonic scale:

(7 n /\ (8n V 8n + 6)) V (7 n + 2 /\ (8n + 5 V 8n + 7)) V (7 n + 3 /\ 8n + 3) V (7n+4 /\ (8n+4 V 8n+J) V (7n+5 /\ 8n+1)


for n = 0, 1, 2, ... , 55 (modulo 7 or 8).


We have just seen how the sieve theory allows us to express-any scale in terms of logical (hence mechanizable) functions, and thus unify our study of the structures of superior range with that of the total order. It can be useful in entirely new constructions. To this end let us imagine complex,

non-octave-forming sieves. -I(. Let us take as our sieve unit a tempered quarter-tone. An octave contains 24 quarter-tones. Thus we have to construct a compound sieve with a periodicity other than 24 or a multiple of 24, thus a periodicity non-congruent wi'th k· 24 modulo 24 (for k = 0, I, 2, ... ). An example would be any logical function of the sieve of moduli 11 and 7 (periodicity II x 7 = 77 f; k·24), (I In V 11n+1) /\ 7n+6o This establishes an asymmetric distribution of the steps of the chromatic quartertone scale. One can even use a compound sieve which throws periodicity outside the limits of the audible area; for example, any logical function of modules 17 and 18 (f[17, 18]), for 17 x 18 = 306 > (11 x 24).





One can apply a stricter structure to a compound sieve or simply leave the choice of elements to a stochastic function. We shall obtain a statistical coloration of the chromatic total which has a higher level of complexity.


Using metabolae. We know that at every cyclic combination of the sieve indices (transpositions) and at every change in the module or moduli of the sieve (modulation) we obtain a metabola. As examples of metabolic transformations let us take the smallest residues that are prime to a positive number r. They will form an Abelian (commutative) group when the composition law for these residues is defined as multiplication with reduction to the least positive residue with regard to r. For a numerical example let r = 18; the residues I, 5, 7, 11, 13, 17 are primes to it, and their products after reduction modulo 18 will remain within this group (closure). The finite commutative group they form can be exemplified by the following fragment:


5 x 7 = 35; 35 - 18 = 17;

11 x 11 = 121; 121 - (6 x 18) = 13; etc.


Modules 1, 7, 13 form a cyclic sub-group of order 3. The following is a logical expression of the two sieves having modules 5 and 13:



L(5, 13) = (13nH V 13n+5 V 13n+7 V 13n+9)

/\ 5n+1 V (5n+2 V 5nH) /\ 13n+9 V 13n+6'


One can imagine a transformation of modules in pairs, starting from the Abelian group defined above. Thus the cinematic diagram (in-time) will be


L(5, 13) --+L(I1, 17) --+L(7, 11) --+L(5, 1) --+L(5, 5) --+ ..o --+L(5, 13)


so as to return to the initial term (closure). * *



This sieve theory can be put into many kinds of architecture, so as to create included or successively intersecting classes, thus stages of increasing complexity; in other words, orientations towards increased determinisms in selection, and in topological textures of neighborhood.


Subsequently we can put into in-time practice this veritable histology of outside-time music by means of temporal functions, for instance by giving functions of change-of indices, moduli, or unitary displacement-in other words, encased logical functions parametric with time.


Sieve theory is very general and consequently is applicable to any other sound characteristics that may be provided with a totally ordered structure, such as intensity, instants, density, degrees of order, speed, etc. I have already said this elsewhere, as in the axiomatics of sieves. But this method can be applied equally to visual scales and to the optical arts of the future.


Moreover, in the immediate future we shall witness the exploration of this theory and its widespread use with the help of computers, for it is entirely mechanizable. Then, in a subsequent stage, there will be a study of partially ordered structures, such as are to be found in the classification of timbres, for example, by means of lattice or graph techniques.





I believe that music today could surpass itself by research into the outside-time category, which has been atrophied and dominated by the temporal category. Moreover this method can unify the expression of fundamental structures of all Asian, African, and European music. It has a considerable advantage: its mechanization-hence tests and models of all sorts can be fed into computers, which will effect great progress in the musical sciences.


In fact, what we are witnessing is an industrialization of music which has already started, whether we like it or not. It already floods our ears in many public places, shops, radio, TV, and airlines, the world over. It permits a consumption of music on a fantastic scale, never before approached. But this music is of the lowest kind, made from a collection of outdated cliches from the dregs of the musicahnind. Now it is not a matter of stopping this invasion, which, after all, increases participation in music, even if only passively. It is rather a question of effecting a qualitative conversion of this music by exercising a radical but constructive critique of our ways of thinking and of making music. Only in this way, as I have tried to show in the present study, will the musician succeed in dominating and transforming this poison that is discharged into our ears, and only if he sets about it without further ado. But one must also envisage, and in the same way, a radical conversion of musical education, from primary studies onwards, throughout the entire world (all national councils for music take note). Non-decimal systems and the logic of classes are already taught in certain countries, so why not their application to a new musical theory, such as is sketched out here?



*Reprinted from Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition, (Bloomington, Indiana University Press, 1971) with permission of the Publisher.


** Cf. my text on disc L.D.X. A-8368, issued by Le Chant du Monde.

See also Gravesaner Bliitter, no. 29, and Chap. VI of Formalized Music.


* Among themselves the elementary displacements are like the integers, that is, they are defined like elements of the same axiomatics.


* Cf. Alain Daniclou, Northern Indian Alusic (Barnet, Hertfordshire: Halcyon Press, 1954), vol. II, p. 72.



* This perhaps fullfills Edgard Varese's wish for a spiral scale, that is, a cycle of fifths which would not lead to a perfect octave. This information, unfortunately abridged, was given me by Odile Vivier. (IX)


* These last structures were used in Akrata (1964) for sixteen winds, and in Nomos alpha (1965) for solo cello.



Eesmärk on esitada totaalselt korrastatud tempereeritud kromaatilise helirea struktuuri aksiomatisatsioon (aditiivne rühmastruktuur = aditiivne Aristoxenese struktuur). Tempereeritud kromaatilise helirea aksiomaatika põhineb Peano arvude aksiomaatikal:






Sissejuhatavad terminid: O = algtõkend; n = tõkend; n’ = n -i elementaarnihke resultaattõkend;

D = algsete heliomaduste (helikõrgus, tihedus, intensiivsus, moment, kiirus, korratus...) hulk. Väärtused on identsed nihete tõkenditega.







Esimesed eeldused (aksioomid):

1. Tõkend O on D element.

2. Kui tõkend n on D element, järelikult uus tõkend n’ on D element.

3. Kui tõkendid n ja m on D elemendid, siis uued tõkendid n’ ja m’ on identsed siis ja ainult siis, kui tõkendid n ja m on identsed.

4. Kui tõkend n on D element, võib ta olla algtõkendist O erinev.

5. Kui D-sse kuuluvatel elementidel on eriomadus P, nii et see on ka tõkendil O, ning kui igal D elemendil n on see omadus, siis on see ka elemendil n’, on kõigil D elementidel omadus P.








Oleme nüüd aksiomaatiliselt defineerinud temepereeritud kromaatilise helirea, mitte ainult helikõrguse, vaid ka kõigi heliomaduste poolest, mis on omased ülalmainitud D -le (tihedus, intensiivsus...). Pealegi, see abstraktne skaala, nagu Bertrand Russell on õigesti täheldanud, muide ka Peano arvude aksiomaatika, ei oma ühtset nihet, mis oleks kas ette määratud või suhtes absoluutse suurusega. Järelikult tuleb see konstrueerida tempereeritud pooltoonide, Aristoxenese segmentide (kaheteistkümnendiktoonide), Didymose komma (81/80), veerandtoonide, täistoonide, tertside, kvartide, kvintide, oktaavide jne. abil või mõne muu ühiku abil, mis pole puhta oktaavi teguriks.











Defineerigem nüüd teine ekvivalentne skaala, mis põhineb sellele, kuid mille ühiknihe on esimese kordne. Seda võib väljendada kongruentse mooduli m kontseptsiooni abil.





Definitsioon. Kaht täisarvu x ja n võib nimetada kongruentseks mooduliks m, kui m on x -i teguriks n. Seda võib väljendada järgmiselt: x ≡ n (mod m). Järelikult on kaks täisarvu kongruentsed modulo m, siis ja ainult siis, kui nad erinevad täpse (positiivse või negatiivse) teguri m poolest; näiteks 4 ≡ 19 (mod 5), 3 ≡ 13 (mod 8), 14 ≡ 0 (mod 7).





Järelikult on iga täisarv kongruentne modulo m ühe ja ainult ühe n -i väärtusega:

n = (0,1,2,...,m-2,m-1).



Iga sellise arvu kohta võib öelda, et see moodustab modulo m jääkklassi; milleks on faktiliselt modulo m väikseimad mittenegatiivsed jäägid. x ≡ n (mod m) on niisiis x ≡ n + km ekvivalent, kui k on täisarv.


k Î Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}.




Antud n –i ja iga k Î Z puhul kuuluvad arvud x definitsiooni kohaselt jääkklassi n modulo m. Seda klassi võib tähistada .



Mõistmaks neid ideid muusika termites, võtkem nihke ühikuks tempereeritud pooltoon. Selleks kohaldagem taas ülaltoodud aksiomaatikat, nimetades nelja pooltooni väärtust (suur terts) elementaarnihkeks. (Kusjuures elementaarnihked on kui täisarvud, mis tähendab, nad on defineeritud kui sama aksiomaatika elemendid.) Me võime defineerida uues kromaatilise helirea. Kui esimese skaala algtõkend on Dis, siis nelja täistooni kordsed annavad meile uue skaala, teisisõnu suurtest tersidest koosneva “skaala” Dis, G, H, Dis1, G1, H1; need on esimese skaala helid, mille järjekorranumbrid on kongruentsed 0 modulo 4 –ga. Kõik nad moodustavad jääkklassi 0 modulo 4. Kasutades jääkklasse 1, 2 ja 3 modulo 4, saame me kromaatilise skaala kõik helid. Neid klasse võib kujutada järgmiselt:

jääkklass 0 modulo 4:;

jääkklass 1 modulo 4:;

jääkklass 2 modulo 4:;

jääkklass 3 modulo 4:;

jääkklass 4 modulo 4:, jne.











Tegeldes põhihelirea (ühe pooltooni elementaarnihke) sõelumisega, moodustab iga jääkklass sõela, mis arvestab läbikammimisel kromaatilise katkematu terviku kindlate elementidega. Kromaatilise terviku laiendusena võib määratleda sõela . Kvarthelirida võib esitada sõelana , kus n = 0,1,2,3,4. Iga indeksi n muutus toob kaasa selle gamma transpositsiooni. Niisiis Debussy täistoonhelireal , kus n = 0,1, on kaks transpositisooni:


 ® C, D, E, Fis, Gis, Ais, C, ...

 ® Cis, Dis, F, G, A, H, Cis, ...









Alustades sellest algsest sõelast võime me ehitada palju keerulisemaid heliridu – kõiki neid heliridu võime me kujutada kolme loogikaklasside operatsiooni abil: ühend (disjunktsioon), tähis Ú; ühisosa (konjunktsioon), tähis Ù ja komplementatsioon (negatsioon) tähistatakse tõkendina, kirjeldatuna sõela modulo juures.



Ú = täielik kromaatika (tähistatav ka kui )

Ù = helid puuduvad või tühi sõel, tähis Æ

­ ja




Mažoorse helirea võib kirjutada järgmiselt:




Vastavalt definitsioonile ei tee selline esitus vahet erinevate klaveri valgete klahvide laadide vahel, mille jaoks see skaala on defineeritud; laadid on sellele skaalale põhinevad arhitektuurid. Seega valgete klahvide laadil D, mis algab helist D, on esitus nagu C laadil. Aga viisis eristada laade on võimalik tekitada  loogiliste tähiste abil mittekommunikatiivsust. Teisalt igaüks selle skaala kaheteistkümnest transpositsioonist on sõela moodulite 3 ja 4 indeksite tsüklilise permutatsiooni kombinatsioonideks. Seega pool tooni kõrgemale transponeeritud mažoorskaala (nihe paremale)võib kirja panna









ja üldiselt




kus n võib saada ükskõik millise väärtuse nullist üheteistkümneni, aga redutseeritakse pärast sõela (mooduli) iga püsiva indeksi liitmist, modulo vastav sõel. D skaala transponeerituna C –sse on kirjutatav









Nüüd muutkem sõela algühikut (algnihet, elementary displacement ELD) ja kasutagem veerandtoone. Mažoorne helirida kirjutatakse




kusjuures n = 0, 1, 2, ... , 23 (modulo 3 või 8).




Sama skaala veelgi peenema sõela abil (üks oktaav = 72 Aristoxenese segmenti) oleks kirjutatud






kui n = 0,1,2,...,71 (modulo 8 või 9).



Üks bütsantsi segatud skaaladest, milles üks süsteem koosneb kromaatilisest tetrakordist ja diatoonilisest tetrakordist, ning teine skeem, eraldatav täistoonidega, on noteeritav Aristoxenese segmentidena 5, 19, 6; 12; 11, 7, 12, ning loogiliselt transkribeeritav





kui n = 0, 1,2, ... , 71 (modulo 8 või 9).







Andara-Sampurna Bhairavi raga tüüp (tõusev pentatoonika, laskuv heptatoonika),* väljendatuna Aristoxenean põhisõela teminites (sisaldades oktaavi, perioodilisusega 72), võib kirjutada:


Pentatooniline skaala:




Heptatooniline skaala:



kui n = 0, 1, 2, ... , 71 (modulo 8 või 9).



Neid kahte sõelateooria terminitega väljendatud skaalat, millel on oma algnihe, ELD, Didymose komma, ELD = 81/80 (81/80 astmel 55.8 = 2), omades seega 56-st oktaavi perioodilisust, võib kirjutada:





Pentatooniline skaala:



Heptatooniline skaala:



kui n = 0, 1, 2, ... , 55 (modulo 7 või 8).




Nägime äsja, kuidas sõelateooria võimaldab meil väljendada ükskõik millist skaalat loogiliste (seetõttu mehhaniseeritavate) funktsioonide terminites ning seob hiiglasliku ulatusega struktuuride uurimise täieliku korrastatusega. See võib olla kasulik täiesti uute konstruktsioonide puhul. Kujutagem näiteks ette keerulisi mitte oktaavilise ehitusega sõelu.* Võtkem sõela ühikuks tempereeritud veerandtoon. Oktaav sisaldab kahekümne neljast veerandtoonist. Seega konstrueerigem terve sõel muu perioodilisusega kui kakskümmend neli või kahekümne nelja kordne, niisiis perioodilisusega mis ei ole kongruentne  k·24 modulo 24 (kui k = 0,1,2,...). Näiteks  sõela modulo 11 ja 7 loogilised funktsioonid (perioodilisusega 11 x 7 = 77  k·24), , mis sätestab kromaatilise veerandtoonskaala atmete asümmeetrilise jaotuse. Samuti võib kasutada komplekkseid sõelu, mis saadavad perioodilisuse väljapoole kuuldava ala piire; näiteks modulo 17 ja 18 loogilised funktsioonid (¦[17, 18]), kuna 17 x 18 = 306 > (11 x 24).
















Kompleksse sõela rakendamisel võib kasutada ranget struktuuri või tugineda elementide valikul lihtsalt stohhastilistele funktsioonidele. Statistiliselt võime me anda täiskromaatikale selliselt kõrgeimal tasemel kompleksse värvingu.




Metaboolide kasutamine. Me teame, et sõela indeksite (transpositsioonide) iga tsükliline kombinatsioon ning iga sõela modulo või modulote muutus (modulatsioon) annab metabooli. Näitena metaboolsetest transformatsioonidest võtkem väikseimad algarvulised jäägid kuni positiivse arvuni r. Need moodustavad Abeli (kommutatiivse) rühma, kui nende jääkide moodustumise seadus on defineeritud korrutamisena koos redutseerimisega väikseimasse positiivsesse jääki, mis kuulub arvude hulka r. Näiteks olgu r = 18; jäägid 1,5,7,11,13,17 on algarvud enne seda ning nende tulemusteks pärast redutseerimist modulo 18 jääks sellesse rühma (sulgu). Lõplikku nende poolt vormitavat kommutatiivset rühma näitlikustab järgmine fragment:


5 x 7 = 35; 35 - 18 = 17;

11 x 11 = 121; 121 - (6 x 18) = 13; jne.












Modulo 1, 7, 13 tekitab tsüklilise allrühma astmel 3. Järgnev on kahe sõela moodul 5 ja 13, loogiline väljendus:








Võime ette kujutada moodulite muundumist paaridena, lähtudes ülalpool defineeritud Abeli rühmast. Seega kinemaatiline skeem (ajas) oleks



jõudes tagasi algliikmeteni (sulgumine). * *








Selline sõelateooriat võib rakendada mitut liiki arhitektuurides, niihästi loomaks ühiseid või järjestikku lõikuvaid klasse kui ka kasvava komplekssuse tasandeid; teisisõnu, suundumusi valiku ning topoloogiliste naabertekstuuride kasvava determinismi suunas.






Järgnevalt võime me ajaliste funktsioonide abil asetada ajalisse praktikasse selle ajavälise muusika tõelise histoloogia, näiteks andes juhuse funktsioonidele -- indeksitele, modulotele või ühiknihetele -- teisisõnu piiratud loogiliste funktsioonide parameetristiku koos ajaga.





Sõelateooria on vägagi üldine ning järelikult rakendatav ka muude heliparameetrite puhul, kandes hoolt kogu täielikult korrastatud struktuuri, nagu helitugevuse, momentide, tiheduse, korraldatuse määra, kiiruse, jne. eest. Ütlesin seda juba mujal sõela aksiomaatika juures. Aga seda meetodit võib tulevik samahästi rakendada visuaalsete skaalalade ja optiliste kunstide puhul.







Veelgi enam, lähitulevik oleme me tunnistajaks selle teooria uurimisele ja laialdasele kasutamisele arvuti abil, kuna see on täielikult mehhaniseeritav. Siis, järgmisel tasandil, kus on osaliselt korrastatud struktuuride uurimine, millele on rajatud näiteks tämbrite liigitus koordinaatteljestiku või graafiliste tehnikate mõistes.









Ma usun, et tänapäeva muusika suudab ennast ületada uurides ajaväliseid kategooriaid, mis olid atrofeerunud ja domineerisid temporaalsete kategooriate puhul. Veel enam, see meetod võib ühendada kogu aasia, aafrika ning euroopa muusika põhistruktuuride ilmingud. Sellel on kaalukas eelis: oma mehhaniseeritavuse -- järelikult igat laadi arvutile ette söödetavate katsete ja modelleerimiste tõttu, mis tõotab muusikateadusele suurt progressi.








Kas meeldib või mitte, oleme me tegelikult tunnistajaks juba alanud muusika industrialiseerumisele. Juba ujutatakse meie kõrvad üle paljudes avalikes paikades, poodides, raadios, TV’s ja lennukites, üle maailma. See võimaldab muusikat tarbida fantastilisel määral, enneolematult. Aga see muusika on madalaimat sorti, valmistatud iganenud klišeede kollektsioonist, muusikalise teadvuse põhjasaastast. Nüüd ei ole küsimus selle invasiooni peatamises, mis lõppude lõpuks suurendab osalemist muusikas, olgu või passiivselt. Pigem on küsimus selle muusika kvalitatiivse konverteerimise efektis treenides meie mõtteviisi ja muusikategemise radikaalset kuid konstruktiivset kriitikat. Ainult sel teel, nagu ma proovisin näidata käesolevas uurimuses, võib muusik saavutada ülekaalu ning muundada see mürk, mis meie kõrvu täidab ning ainult siis, kui ta asub selle kallale ilma pikema jututa.













Aga vaimusilmas peab ka samal viisil nägema muusikahariduse radikaalset pööret kogu maailmas, alates esmaõppest (kõiki rahvuslikke muusikanõukogusid kaasa haarates). Mittedetsimaalseid süsteeme ja klasside loogikat juba mõnedes maades õpetatakse, miks siis mitte ka nende avaldust uues muusikateoorias, nagu on visandatud siin?









*Uustrükk raamatust ”Formaliseeritud muusika: heliloomingu mõte ja matemaatika”, (Bloomington, Indiana Ülikool Press, 1971) kirjastaja loal.




** Vt. minu CD L.D.X. A-8368 saatetekst, väljaandja Le Chant du Monde. Vrd. Gravesaner Bliitter, nr. 29 ning “Formaliseeritud muusika”, VI peatükk.




* Nende hulgas algnihked on kui täisarvud, mis tähendab, et nad on defineeritavad nagu sama aksiomaatika elemendid.




* Vt. Alain Daniclou, Põhja- Indiaani Alusic (Barnet, Hertfordshire: Halcyon Press, 1954), kd. II, p. 72.





* See täidab ehk Edgard Varese soovi spiraalse skaala suhtes, mis tähendab kvindiringi, mis ei päädi puhta oktaaviga. See informatsioon, kahjuks kärbituna, jõudis minuni Odile Vivier’ kaudu. (IX)





* Neid viimaseid struktuure oli kasutatud Akratas (1964)  kuueteistkümnele puhkpillile, ja Nomos alfas (1965) soolotšellole.